光华课堂｜洪立敏：梯形和圆

我们平时在几何学习中，会遇到一些常见问题，但常见问题的数据在变化，学生们往往在条件变化后，失去辨析能力导致解题失败。所以在这样的背景下，怎样提高学生对于图形的观察、理解、辨析能力？我作了下面这个教学设计。

    如下图， 矩形ABCD中，AB=2BC，现以AB为直径作圆E，圆E与CD边有怎样的位置关系？

而当AB>2BC时, 以AB为直径作圆E，圆E与CD边是怎样的位置关系？

又当AB<2BC时, 以AB为直径作圆E，圆E与CD边是怎样的位置关系？

当我们将AD变短, BC变长, 如果仍旧保持⊙E与CD相切的关系, 那么此时梯形ABCD的两底与腰长有怎样的数量关系呢? 

解:

 i. 探究斜角腰CD与上下底的关系:

过点E作EF⊥CD于点F.

∵ ⊙E与CD相切

∴ EF=r

联结DE.

易证 Rt△DAE≌Rt△DFE (H.L.)

∴ AD=FD=a

同理BC=FC=b

∴ CD=a+b

探究直角腰AB与上下底的关系: 

过点D作DH⊥BC于点H. 

∵ ABHD为矩形

∴ AD=BH=a

∴ CH=b-a

又∵ DH=2r, ∠DHC=90°

∴ (2r)²+(b-a)²=(a+b)²

化简后得 ab=r²

即此时, 直角腰是上下底的比例中项。

有意思的是, 我们此时以CD为直径作⊙M, 我们会发现⊙M也和腰AB相切, 这要证明很容易, 联结EM就能有发现。

更让人思索的是: 如果我们压缩直角梯形的高度, 且保持上下底长度不变, ⊙E和⊙M与两条腰又会有怎样的位置关系呢?

如图, 此时⊙E的半径r<√(ab), 由勾股定理易得CD<a+b从示意图可见⊙E与CD相离, ⊙M与AB相离. 现象背后的原因是什么? 我们需要求证。

其中⊙M与AB相离容易证明:

点M到AB的d=EM=½(a+b)

而⊙M的R=½CD<½(a+b)

∴ d>R ∴⊙M与AB相离.

那为什么⊙E也与CD相离呢? 

我们要证明圆与线的位置关系自然想到转化为d与r的数量关系。

过点E作EF⊥CD于点F, 则EF=d

联结DE并延长交CB的延长线于点G, DE交⊙M于点H, 联结CH.

∵AD∥BC, AE=BE

易证△ADE≌△BGE

∴ AD=BG=a

又∵CD是⊙M直径

∴CH⊥GD

所以 sin∠G=CH/CG, sin∠CDH=CH/CD

∵ CG=a+b>CD

∴ sin∠G< sin∠CDH 即∠G<∠CDH   (该结论也可以由“大边对大角,小边对小角”得到)

∴ ∠ADE<∠CDH

在Rt△ADE与Rt△FDE中

ED是公共斜边

∴AE<FE  即r<d

∴ ⊙E与CD相离

既然我们已经压缩了直角梯形的高，那么它的反面：如果直角梯形被拉高，保持上下底长度不变, ⊙E和⊙M与两腰会是怎样的位置关系?

通过观察、思辨、求证，你能自己给出明确的结论吗？

事实上，当这个直角梯形ABCD被一步一步拉高，∠ADC与∠BCD会逐渐趋同，即此时直角梯形ABCD不断向矩形靠拢.由于r远远大于√(ab)，所以⊙E和⊙M一直与两腰相交，且⊙E与⊙M趋近于等圆。

回到本课刚开始时的矩形, 我们抓住了什么样的数量关系来判断⊙与矩形边的位置关系?而最后我们以直角梯形结束, 是抓住了什么数量关系来判断⊙与直角梯形斜角腰的位置关系? 两者之间统一吗?

数学的魅力不在于答案,而在于过程. 这个过程包含了观察、迁移、提问、思辨，正是在提问、追问、反问的一系列思维活动中，学生的好奇心被激发，认识事物的能力在提高。世界上的问题都不是唯一解，因此问题的价值远大于结果，就在我们一次一次拷问心灵的过程中，答案日臻完善，文明开始了。