编者按：《国语·楚语·伍举论台美而楚殆》中：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美”。上下左右相同，内外相称，即为对称。2021年12月02日，“完全对称日”，用阿拉伯数字表示为20211202，像是纪年创造者藏在日历里的密码，富有诗意与浪漫。
在我们尝试理解万物之理的过程中，也有一些“对称之美”和“对称破缺之美”。本期唠科，跟国晓薇一起，探究其中千丝万缕的对称联系吧。
在我们的自然界中，万物的行为并不是杂乱无章无理可循的。那么万物的运行到底遵循什么道理呢？在我们尝试理解万物之理的过程中，守恒量起到了至关重要的作用。物质不会无中生有，也不会凭空消失，所以我们有质量守恒。能量不会无中生有，也不会凭空消失，所以我们有能量守恒。在下文中，我们将介绍守恒量和物理定律的对称有着怎样的千丝万缕的联系。这一令人惊艳的深刻认识使得对美的追求，成为物理中的一种时尚、一个潮流，甚至成为一些人追寻宇宙真理的导航灯塔。在艺术中，对称性给我们带来美感。那么，在物理中对称性到底有多重要呢？这么说吧，如果没有对称性作指导，爱因斯坦不可能发现相对论，当代的理论物理学家们会像失去了灯塔一样集体在黑暗里抓瞎。物理学大师费曼曾经说过，如果让他选择一句话来概括现代科学最重要的发现，他会选“世界是原子组成的”。许多当代最著名的物理学家们认为，如果有机会再选一句，那么所选的将是“对称性是宇宙规律的基础”这句话。
一提到对称，许多人脑海里会浮现类似天安门这种严格左右对称的建筑，或者六个瓣的雪花，镜子里帅帅的自己，亦或者是纯粹的圆形、正方形、正六边形这样的几何图形。
没错，这种几何里的对称是我们最容易想到的。仔细想一下这些对称，我们会发现它们有的是以中间一根轴对称（天安门），有的是围着一个点旋转对称（雪花、圆形、正方形），还有的是相对镜子里的镜像对称。当然，天安门的那种轴对称你也可以认为它是在天安门中间插了一面镜子，不过这个不是重点，我的重点是：对称的标准可以是多样的。对称性的精确数学定义涉及到不变性的概念：如果一个几何图形在某些操作下保持不变，我们就说这个图形在这些操作之下具有某种不变性。一个圆无论你旋转多少度，这个圆看起来还是那个圆，它没有任何变化，我们就说圆这个图形在旋转这个操作下具有不变性，简单的说就叫圆具有旋转不变性。同样的，我们用镜子去照一个圆，镜子里的图形依然是一个圆形，通过镜子照的这个过程我们可以称之为反射，那么，圆也具有反射不变性。可以想象，三角形、正方形乃至任何几何图形在镜子里依然是这样的图像，所以它们都具有反射不变性。这是我们辨别对称常用的思维，但是物理学家们却更喜欢另一种思维。以旋转不变为例，我们判断一个图形是否具有旋转不变性，是去尝试着把这个图形给转一下，看看他跟以前还是不是一样的。这是观察者不动而图形动，但是物理学家们更喜欢使用另外一种方法：图形不动，观察者动。什么意思呢？比如物理学家们判断一个圆形是否具有旋转不变性，他不是去旋转这个圆看他变没变，而是去旋转观察者，让观察者从不同的角度去看这个圆，看他们看到的是不是同样的圆，如果是一样的就说圆具有旋转不变性。因为运动具有相对性，所以观察者不动旋转圆和圆不动旋转观察者本质上并没有什么区别。物理学家们的这种处理方法会使在处理复杂问题的时候变得简单很多，后面你就能体会到了。上面我们说的对称都是指几何图形的对称，但是物理学家们并不关心几何图形，他们关心的是物理定律，也就是是物理定律的对称性。初次听到这个词很多人可能会感觉到奇怪，几何图形对称好理解，什么叫物理定律的对称性呢？物理定律不是一堆公式么，为什么会去考虑他们是否对称的问题？
要理解物理定律的对称性，我们就要把脑袋里几何图形对称的那个图景忘掉，回到对称更一般的数学定义上来。我们上面也说了，对称性的精确数学定义会涉及到不变性这个概念：如果一个几何图形在某些操作下保持不变，我们就说这个图形在这些操作之下具有某种不变性。我们把上面的几何图形换成物理定律，可以很自然的得到一个物理定律是否对称的判断标准：如果一个物理定律在某些操作下保持不变，我们就说这个物理定律在这些操作下具有某种不变性。还是以旋转操作为例，我们来看看牛顿运动定律在旋转这个操作下是否保持不变，也就是说看看牛顿运动定律是否具有旋转不变性。答案是很明显的，比如一个苹果从树上落下，我们不管是从树下仰视，从树上俯视，还是从远方平视，甚至是从飞机上看，我们都会看到苹果的下落过程符合牛顿的运动定律：苹果朝着地心的方向加速飞去。一个俯视苹果下落的牛顿和一个仰视苹果下落的牛顿不可能总结出两个运动定律出来，这就是说牛顿定律符合旋转不变性，也就是说牛顿定律在旋转这个操作下具有对称性。我们想想，不止是牛顿定律，我们现在发现的任何定律都符合旋转不变性，也就是旋转下的对称性。麦克斯韦的电磁学也好，爱因斯坦的相对论也好，量子力学也好，如果我们从不同的角度去看他们就会得到不同的电磁学规律、相对论那还得了？我们再往深层想一下，旋转不变性的本质其实是空间的各向同性。也就是说，只要空间在各个方向上都是均匀的，都是一样的，不存在空间这边密度大一点那边密度小一点。那么观察者从不同方向看到的物理定律就肯定是一样的，即这些定律肯定具有旋转不变性。在这里，我们看到了物理定律的旋转对称性居然和空间本身的性质联系起来了，有没有隐隐约约感觉对称性不只是看起来好看，好像还挺有用呢？别急，这才看到对称性威力的冰山一角，对称性的威力还大着呢。
物理学家研究对称性绝不是图好玩，是因为对称性里蕴含了巨大的能量。要充分理解对称性的威力，我们必须先了解一个核弹级别的定理：诺特定理。诺特定理，顾名思义是一个叫诺特的科学家发现的定理，这个科学家叫埃米·诺特，是位著名的女科学家，被爱因斯坦形容为数学史上最重要的女人，还被称为现代数学之母。诺特在数学上的成就我这里不多说，她在物理学上最重要的成就就是发现了现代物理学灯塔，让现代物理学家们不再抓瞎的诺特定理。
诺特定理的表述非常简单，就一句话，但是内容非常深刻，她说：物理学里的连续对称性和守恒定律一一对应。
我先不做过多的说明，让大家先把思路捋一捋，这句话里的每一个字我们都懂，它要表达的意思也非常清楚，但是这到底意味着什么？对称性和守恒定律一一对应，那就是说每一个对称性都有一个守恒定律跟它对应，每一个守恒定律也有一个对称性跟它对应么？那岂不是说我熟悉的能量守恒定律，动量守恒定律也都对应了某个对称性？那上面的旋转对称，反射对称又对应了什么守恒定律呢？如果它们之间真的是这样一一对应的，那么以后我只要在实验里发现了新的守恒量，就等于发现了一个新的对称性么？这太不可思议了……没错，上面想的都没错，诺特定理说的清清楚楚明明白白，没有任何歧义，就是这样！另外，关于诺特定理里连续对称性的连续，我稍微说明一下：在经典力学里，像旋转对称，我们可以旋转任意的角度，这显然是个连续的对称，而镜像对称则要么是镜里要么是镜外，只能取两个值，这是不连续的。在经典力学里，守恒定律是跟连续对称性一一对应的，但是在量子力学里，这种差异没有了，即便是宇称这种不连续的对称性也有守恒定律跟它对应。为了让大家对诺特定理有更深刻的理解，我们先来看看几个常见的例子。
诺特定理说对称性和守恒定律一一对应，先从我们最熟悉的能量守恒定律开始。既然能量守恒，那么按照诺特定理就有一种对称性与之对应，是什么对称性呢？这里我不卖关子了，直接告诉大家，跟能量守恒对应的这种对称性叫时间平移不变性。什么叫时间平移不变性，平移就是时间流逝移动的意思，说得再通俗一点就是：我今天做实验跟明天做实验遵循同样的物理定律。噢，这下子秒懂了！有人说这不是废话么，一个物理定律如果他今天成立明天不成立，那还叫什么定律，那我们要这样的定律还有个锤子用？没错，吐槽得一点没错，物理学家们千辛万苦的寻找各种物理定律，为的就是利用这些定律预测物体未来的运动情况，你如果跑来告诉我这个定律只有这一刻有效，下一刻就失效了，也就是没有时间平移不变性，那我们还预测个啥啊？显而易见地，我们目前所有的物理定律都是符合时间平移不变性的，明白了这一点，你就知道为什么能量守恒定律的适用范围这么广了吧？因为诺特定理告诉我们，只要物理定律是时间平移不变的，那么他就肯定能量守恒，而时间平移不变看起来这么强，所以能量守恒也就这么强了。现在这个关系是对应起来了，但是大部分人脑袋里肯定还是懵的：为什么能量守恒定律就是跟时间平移不变性对应，而不是跟其他的对称性对应呢？具体的证明过程比较复杂，这里就不说了，有兴趣的自己去查资料，我这里提供一个简单的思路让大家直观的感受一下为什么如果没有时间平移不变性，能量就不守恒了。假设物理定律不遵守时间平移不变性，这一秒的定律跟下一秒的定律不一样。那我把一块石头往上抛，让它刚好一秒钟达到最高点然后它开始下落，我假设下落时的定律让同样大小的引力能够产生两倍于上抛时候的加速度，那时候下落到出发点的时候它的速度肯定比上抛的时的初候速度更大，也就具有更大的能量。那么，在抛一个石头的过程中它就凭空创造了能量，所以能量显然就不守恒了。理解了能量守恒对应时间平移不变性之后，后面两个熟悉的守恒我就直接说结果了：动量守恒对应空间平移不变性（空间平移不变就是说物理定律在北京和在上海都一样，在不同的空间物理定律相同），角动量守恒对应于我们上面说的旋转不变性。有了这种概念以后，知道了能量、动量、角动量守恒定律不过是一种对称性的体现之后，我相信你不会再怀疑对称性在物理学的重要性了。
文章的一开头，我们提到一个重要的守恒量：物质守恒（也就是质量守恒）。那么质量守恒起源于哪个对称性呢？很不幸，我们发现并没有什么对称性对应于质量守恒。难道我们上面对对称性和守恒量的理解并不完备？难道对称性并没有那么重要？不是所有的守恒量都起源于对称性？有人也许会说所有的理论和理解都不是十全十美的，总有那么一两个反例。可是如果你坚持对物理定律之美的信念，也许你会去怀疑质量真的是守恒的吗？如果你真的这么做了，那你将会有一个比肩爱因斯坦的伟大发现。爱因斯坦发现其实质量并不守恒，质量可以转化成能量，能量也可以转化成质量。把质量也算进去的总能量才是真正的守恒量，而这一真正的总能量守恒（也叫质能守恒）才对应于我们上面所讲的时间平移对称性。对美的坚持有可能导至出重大的发现，我想你真的不会再怀疑对称性在物理学的重要性了。
我们知道万物都是由原子组成的，而描写原子运动的物理规律有各种各样完美的对称性。这是不是意味着原子所组成的物质也都有这些对称性呢？我们也知道原子可以组成各种各样千变万化的物质。这些千变万化的物质形态到底是从哪里来的？我们发现答案又和对称性有深刻的联系。大家认为物理定律对称性越高越美。那由原子组成的物质形态，是不是也是对称性越高越美？其实具有所有对称性的物质形态是最乏味的，无美可言。由原子组成的气体，就是这么一种物质形态。气体中的原子呈随机分布，随便怎么平移，随便怎么旋转，还都是随机分布，有最高的对称性。而大家认为美丽的晶体，相对于气体，反而对称性要少一些。因为晶体中的原子排列成规则的点阵。这些点阵只有在固定量的平移下和固定角度的旋转一下才保持不变。所以我们说，相对于气体的最高对称性，晶体有对称性破缺。这是一个很有意思的哲理：和物理定律不同，物态之美是来源于对称的破缺，具有最高对称性的物态反而是平凡无味。朗道把这种物态结构起源于对称破缺的观念，提升到一个普适的高度。他认为千变万化的物质态，其本质的不同就是来源于不同的对称性破缺。两个对称性完全相同的物态，总可以平滑连续的变成对方，属于同一个相。这一深刻的洞察、导致了朗道关于物态及其相变的对称性破缺理论。这一理论是描写物质的凝聚态理论的一个基石。有很长一段时间，大家认为朗道的对称性破缺理论描写了所有的物态和所有物态之间的相变。大家觉得凝聚态的基础理论已经完美了，已经走到了尽头，已经没有进一步发展的空间，做凝聚态基础理论的物理学家应该在别的方向找工作了。直到最近二三十年拓扑物态的发现，大家才意识到朗道理论的不完备性。这使凝聚态物理迎来了一个热火朝天令人激动的第二春。
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